[수학공부의 정석] 수학공부, 무작정 하지 마라.

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 처음 밝히는 이야기지만 사실 제 전공은 교육학과 관련되어 있습니다. 물론 수학교육이 전공은 아니지요 ㅎㅎ
(일반사회 교육 전공입니다요 ㅎ) 
사회교육(정치, 경제, 사회문화, 법)과 수학교육은 표면적으로 드러난 목적이 크게 다릅니다. 제가 전공한 사회교육의 경우, 민주시민교육을 목표로 하여 비판적 시민의식을 함양시키기 위해 그 도구로써 정치학, 경제학, 사회학, 인류학, 법학 등의 학문적 내용을 아이들의 수준과 목표에 맞추어 재 가공한 것이라면, 수학교육의 경우 논리적 사고력과 이해력을 당면 목표로 하고 있는 것으로 보입니다.

 그러나 학습자의 입장에서는 수학이라는 과목이 반드시 거쳐야 할 과정이기 때문에 거시적인 수학교육의 목표보다는 "어떻게 학습할 것인가?" 가 주요한 관심인 것은 사실입니다. 따라서 오늘의 포스팅은 수학을 어떻게 공부하는 것이 좋을 가에 대한 고민을 털어놓아 보는 시간으로 하기로 했답니다. 자세한 방법에 대한 소개는 하지 않고 전체적으로 수학을 공부하기 위해 어떤 원칙이 필요한 지만 다루어 보도록 하겠습니다.

수학공부의 방법
 

사실 학습방법론을 알기 위해서는 현행 교육과정상 수학교육이 지향하고 있는 세부적인 목표에 대해 알아야 합니다. 사실 평가방법론이라는 것은 이 목표에서 추출된 것이기 때문에 학습자가 무엇이 시험에 나올지를 알기 위한 가장 쉬운 방법은 학교 수학교육이 가지고 있는 목표가 무엇인지를 판단하는 것이 핵심입니다. 이는 수학을 떠나 학교교육에서 이루어 지는 모든 과목에서 적용 가능한 부분입니다. (사회교육을 분석하는 방법론에 의해 수학교육에 대해 분석하는 것이니 수학교육 전공자가 보시면 그저 잡글이려니 하고 웃어 넘겨 주셨으면 좋겠네요 ㅋㅋㅋ)
일단 수학교육에서 아동에게 요구하는 목표는 몇 가지가 있습니다. (전공자 분들을 위해 이것은 윌슨의 NLSMA 모형을 참고하였음을 밝힙니다.) 


 

계산력

학습한 규칙에 따른 문제의 요소를 직접적으로 조작하는 능력, 기대되는 목표 가장 복합성이 적은 행동인 계산력은 특정 사실에 대한 지식, 용어에 대한 지식, 알고리즘을 실행하는 능력을 포함하는 것입니다.

이해력

개념간의 관계를 파악하고 있는지 여부를 중요한 사항으로 하는 능력으로 개념에 대한 지식과 원리 법칙에 대한 지식, 수학적 구조에 대한 지식, 문제를 변형하는 능력, 추론을 이해하는 능력, 문제를 해석하는 능력이 이해력에 포함되는 능력입니다.

적용력

관련 지식을 상기하거나 적절한 조작을 선택하고, 조작을 성취하는 능력으로 판에 박힌 문제 해결 활동이나 결정을 내리는 활동 등이 포함되는 능력입니다.

분석력

개념을 일상적이지 않은 상황으로 적용할 있는 능력, 연습되지 않은 상황에서 관계를 탐색하고, 양식을 발전하고, 개념과 조작을 조직하고 사용하는 능력을 요구하는 복합적 능력입니다. (Bloom 인지영역 분석, 종합, 평가 수준의 행동을 포함하네요)


즉, 수학교육에서는 위에 언급한 계산, 이해, 적용, 분석의 네가지 능력의 육성을 목표로 하고 있기 때문에 수학교육에서의 평가는 "교육목표이원분류표" 라는 것에 의해서 소단원 별로 이번 단원은 "계산력"이 중요
시 되는 단원이다, "이해력"이 중요시 되는 단원이다 따위가 구분이 되어 있습니다. 마음같아서는 중등교육과정 수학 교과서 전 단원에서 요구하는 기능을 모두 정리해 보고 싶지만;; 굳이 그러할 필요성을 느끼지 않기 때문에, 여기에서는 다만 이와 같은 능력들이 요구되며, 궁극적으로 단원별로 어떤 기능을 많이 요구하는 지를 분석하고 그 기능에 맞게 단원별 학습을 한다면, 문제를 정확히 예상하는 것은 불가능하다고 하여도 최소한 단원별로 요구되는 "공부 포인트"를 찾을 수는 있을 것이라 생각됩니다.

 두번째로 드리고 싶은 말씀은 사회과의 교과교육 과정도 마찬가지겠지만 수학이야 말로 "동심원 확대법"과 "나선형 구조" 의 이론이 가장 많이 적용된 과목이라는 것입니다. 무슨 말인고 하니, 수학이라는 학문은 아주 기초부터 시작해서 점점 넓은 범위에 대하여 점점 더 깊은 내용을 '순서대로' 학교교육에서 다루고 있다는 것입니다.
따라서 수학공부를 하기 위해서는 무엇보다 "순서" 가 중요하다는 것입니다. 무슨 단원이 약하니까 그 단원을 집중적으로 공부하는 경우가 많은데 사실 교과서라는 것은 아이의 인지발달 구조를 고려한 원리에 따라 단원구성을 하도록 되어 있습니다. 따라서 아이의 인지발달 구조에 따라 학습을 하기 위해서는 "교과서의 목차"대로 공부하는 것이 맞습니다. 한 학년 교과서의 단원 구성 뿐 아니라 학년별 교과서의 내용 역시 이같은 인지구조의 원리에 따라 만들어진 것이기 때문에, 아이가 괴로워하지 않고 공부를 하기 위해서는 어려운 것을 먼저한다든지 하는 것보다는 학년 순에 맞게 천천히 올려 나가는 것이 아이에게 도움이 되리라 판단합니다. 설령 어려운 고학년 문제를 척척 풀어낸다고 하여도 아이 내부에서 "인지부조화" 가 발생하여 장기적으로 혼란을 겪을 수 있습니다. 따라서 반드시 "단계"별로 학습을 하기를 권합니다.(선행학습을 반대하는 것이 아니라, 중간에 단원을 빼먹고 공부한다든가, 단원 순서를 마음대로 바꾸어 공부하는 것이 효과가 적다는 것입니다.)

정리
 

사실 제 이야기의 신뢰도를 높이기 위해 (아는것도 없으면서) 전문적인 내용을 동원하려 하였네요.
간단하게 정리해 보자면,
  1. 교과서의 단원별로 "목표"가 무엇인지 명확하게 인식하는 과정을 선행시키는 것이 좋다.
  2. 교과서의 단원 순서, 학년별 학습내용 순서는 가급적 따르는 것이 좋다.

두 가지였습니다. 수학교육을 전공한 사람은 아니지만, 위의 내용은 거의 모든 과목에서 적용할 수 있는 것이기에 자신있게 드리는 말씀입니다. 가령 사회를 공부하고 있는 아이의 경우, 대부분이 이번 단원의 "주제" 가 무엇인지 모르고 사회과의 지엽적인 내용을 그저 외우기만 하는 경우가 대부분인데, 이런식으로 준비를 하면 "단순 암기"를 묻는 문제가 아닌, 포괄적이며 "사고력"을 요하는 문제에는 대처하지 못하게 됩니다.(사회과에서 요구하는 사고력의 정답은 사회과의 목표인 경우가 많습니다. 즉 서술형 문항의 경우 답안을 작성할 때 단원의 목적을 고려하여 답안을 작성한다면 훨씬 좋은 결과를 얻게 되는 것이죠.) 수학의 경우도 마찬가지이죠. 아주 저학년이 아닌 이상 "계산능력" 만을 묻고 있는 경우는 많지 않습니다. 따라서 단원별 출제 포인트인 "목적"에 맞추어 공부하여, 해당 과목에 관하여 미리 출제 포인트를 알 수 있어 효율적인 공부가 가능합니다.

(실제 고등학교 수학 단원의 교육목표 이원분류표 일부)


 문항 수는 다르겠지만(이원분류표는 각 교사가 작성합니다) 위와 같은 교육목표 이원분류표를 하나 구한다면 상당히 도움이 되겠지요? 예컨대 실수와 복소수에 대한 단원에서는 계산연습이 조금 필요하겠군요. 또 방정식 문제에 관련해서는 증명하는 문항이 출제되기도 하므로 이에 대한 대비가 필요하겠네요.
이러한 이원분류표를 제가 구해 드리면 좋겠지만 ㅎㅎ 굳이 이 같은 분류표가 없다고 하여도 방법은 있습니다. 
어떤 단원에 대해 공부를 시작할 때 우선 "이 단원의 목표가 무엇일까?"를 고민하면서 교과서나 문제집 해당 단원에 있는 각 문항 별로 계산 문제인지, 이해문제인지, 증명문제인지 등을 체크하여 그 비중을 분석하는 과정을 통한다면, 교육목적 이원분류표와 유사한 표를 만드는 것이 가능할 것입니다. (이 과정이 불필요하다고 생각하실지 몰라도 이렇게 각 문항을 분석하는 과정에서 문제를 보는 '눈'이 생긴답니다.) 실제로 저도 상당수 문항을 분석함으로써 문제 출제의 메커니즘을 이해하게 되었습니다. ㅋ

수학은 단순한 반복 연습이 전부다? 전혀 아닙니다. 수학은 메카니즘 입니다. (사회도 마찬가지입니다.)

수학이 무엇인지에 대해 깊게 생각해 보고 자신의 공부방법을 점검해 보시기 바랍니다. 제가 드리는 충고도 참고하시면 좋겠네요 ㅎ 더운날 몸 조심하시고 좋은 결과 있길 바라겠습니다.

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